20年春福师《实变函数》在线作业一-1（答案参考）
【奥鹏】-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业一; y5 i: @" {. I9 B
试卷总分:100 得分:1004 ], ?7 {9 {7 \9 f3 o% {5 ]
第1题,f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1.
A、错误& ^9 A9 D& G5 `/ A
B、正确8 i- }/ M: y1 a% Q% r
正确答案:0 Z7 ]% n+ u+ V1 l7 pU5 W& ?
, W, f) w. V! N6 }, H* cj
`' \+ l7 F1 d- H- O. c
第2题,当f在上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.8 F4 ?1 D0 [5 fS+ n" R
A、错误6 o$ S# r9 n) Z: s
B、正确; m& a]$ I1 c; d0 _; Y5 |
正确答案:
1 e( ?+ ^5 q, H# J4 j7 _1 \1 f2 _
第3题,若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。4 s1 A: U" V8 s$ P\
A、错误* q( j2 _6 U3 |
B、正确
正确答案:
第4题,若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A、错误
B、正确
正确答案:
4 rZ6 k, t! B: [7 v3 P" _
第5题,若f有界且m(X)∞,则f可测。3 }* ]5 w! I, j+ u
A、错误
B、正确7 f. b2 Y5 }" ?' N$ |
正确答案:/ o7 N; Z- l' r% |1 e$ i6 m9 K
; b# Q, \- B1 R% p8 v; i6 t5 W
第6题,增函数f在上几乎处处可微。
A、错误" P9 R% K/ {/ ~I" y# Y) r) R# f
B、正确: M9 z/ j; S( N5 P" V% G+ u
正确答案:
% @3 \' X8 Z. D~" b
$ M! d# {3 ]3 ]5 s' Y
第7题,若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。8 d' k$ g& |9 H" T) @* t1 m
A、错误
B、正确
正确答案:+ f5 t/ X4 D3 _$ p( Q
9 w, O+ X6 [7 C# W
第8题,对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.6 ~7 g+ yG* d, X
A、错误1 qI- A* W" ]+ w
B、正确" d+ O7 i4 F3 [5 o
正确答案:; B+ [3 _% u+ }$ F) e' t
* d. D% Y7 {. d; M
第9题,若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A、错误
B、正确1 |0 p+ c- ]: }1 L9 ]7 }
正确答案:
# T3 l1 J" y" N
3 ?9 t- W/ W) n2 y4 N" n' Vh
第10题,若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。* E7 O$ q: [( _4 r" ?' K. U
A、错误$ \+ c& \5 ?5 |& Y$ q
B、正确
正确答案:
第11题,测度为零的集称为零测集.
A、错误
B、正确
正确答案:
* c8 E3 ]1 LD$ ]8 R3 E
第12题,存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdxf(b)-f(a) .- [, K1 s6 n4 O4 a4 ]/ z
A、错误
B、正确
正确答案:/ x( l. N% ^9 k
: S( n% R5 K& a( i4 v: P" @D
) x5 Y2 e* a8 |( e/ }
第13题,有界可测函数f在区间上L可积的充要条件是f在上几乎处处连续., g. F1 d0 H' c7 F, C% `% T
A、错误
B、正确( F1 V6 j. r$ H8 l! o: e. {# L
正确答案:
/ [, l$ h* i$ i) L9 t
第14题,若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
B、正确: k3 I$ A3 f5 _}" B% Z2 ?
正确答案:, Y* H& Y( f- [" K7 N& @. J
* x0 k^# v' K& M& e+ i) o
. h/ j3 T) G6 R4 f, w
第15题,f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A、错误
B、正确( u/ y# b( o6 }4 w# O
正确答案:+ G- x; Z* O4 |& uk- Q
. N! j% X* E# ^# g
第16题,若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A、错误; G- a9 F0 Q! j$ q4 ^
B、正确
正确答案 i3 c3 X$ w3 h( W$ n
第17题,函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零.
A、错误
B、正确- m# G, z5 C! T
正确答案:3 P* m! V) [. J2 H$ a
: z; j, [; ~, {+ Y7 [
第18题,有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞, M3 w. TK! o6 q5 ~+ P
A、错误
B、正确/ m" B; a3 d7 m
正确答案:0 R9 w+ i* h1 `% ^( R
" U8 E$ Q7 g! y2 C& A$ H6 j0 g
/ E* ^8 w: U. b
第19题,当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x-+∞}f(x)=0.
A、错误
B、正确
正确答案:3 y! L* v$ l5 b$ l) w
" {* t" m& R, P' k& F
第20题,若f∈L1,则几乎所有的x属于均是g的L点.1 g& F2 u4 t" k. @/ \$ f* f
A、错误
B、正确. W( R/ `* Z: g5 F( }$ b
正确答案:. Q/ V1 C5 pj9 F
: b! h7 z2 x. a. z* ?) y4 P
第21题,利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A、错误
B、正确+ O8 d- Y?$ G9 L0 P3 A
正确答案:' `5 h7 m# A- |( Z% ^
第22题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误: g4 x8 K* F! w/ b! f
B、正确% k& ^, @3 C& J0 \( J/ R3 h
正确答案:2 M9 j* F- L- g0 [: F( k; m! x' ]6 k
. {$ e& p( G8 J
4 H: O9 {; _7 ~Q! a
第23题,f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛.
A、错误6 h! E# ]6 _, R- T3 F0 a
B、正确
正确答案:. G9 j* x$ Z/ u6 t( t
, g; H: j" O( ]7 N+ A
第24题,若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误1 T; s! V- P* G^' [. {
B、正确5 z) ~" pX" N: V- p
正确答案:
第25题,无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A、错误
B、正确
正确答案:6 k2 o! |! E' K
7 m; j' j" M5 S; E- U
第26题,g的连续点是L点，但L点未必是连续点.% b& yh, I# I! Z, O7 |/ _; f
A、错误# y8 \! }$ g, g
B、正确
正确答案:3 i3 v. t) A# |! l
+ j* @+ }% @* y- {4 `* N0 [
( @' m/ L6 j4 x( ?' b* y0 B
第27题,连续函数和单调函数都是有界变差函数.. B( c" N5 ]7 g2 z" `
A、错误" O1 s2 s' k9 c- \
B、正确+ N2 C- z- l# c( ~) g$ H1 {5 x4 G
正确答案:
4 U4 {( K9 Z8 U0 |
2 R" G9 l2 d: j8 T1 u7 I" `. J% w; {
第28题,绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。: U' t6 W. O% |& f
A、错误
B、正确l) o8 }$ z9 C7 ?% s1 H7 |
正确答案:
8 S2 i$ d! d7 |7 Ha& Q( u
第29题,f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .% Z% [5 W3 v+ Z; @# h+ A
A、错误
B、正确6 J3 A6 K) ]3 b, K. B. u2 G
正确答案:* J% h' o5 h1 p" K( Y) l
# S( H& p$ G* P# L* U& Tg9 P
第30题,设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax7 p& P6 W3 O9 D6 ^4 S5 m" k. [1 t6 L
A、错误
B、正确- 8 ~% X
正确答案:; r" \& F% |5 S7 g' ?
- K+ X% x0 b- ?5 W! L
第31题,R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并./ `3 G% z2 O! S( fN
A、错误6 Q! B6 ^$ g- j# X9 z1 z- N
B、正确4 V4 Z' b8 `1 |/ v8 d8 d
正确答案:
' g7 `/ h5 Q0 XS
第32题,若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.- Z% z$ Z, Gk+ P) g_/ @
A、错误1 B& f) E7 y" J
B、正确* Q$ L% A, j8 m2 Z
正确答案:
5 S) D/ A$ T7 r
第33题,可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集5 _3 z; z* I+ v) O7 Y1 ]2 K0 g
A、错误" j: s. H; z0 d7 zg% @
B、正确
正确答案:* R" I; g: b: M) H7 _
& _9 k/ C0 b+ ~& c
第34题,函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A、错误
B、正确L5 Q( U" w, t
正确答案:+ {! j5 g0 U8 y2 q" p
2 u* ?& x* l; w% u
% ^: ]: R5 x+ K9 i, n! A& n9 u" @
第35题,有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.7 C& |% t; |& t+ h+ y9 U
A、错误
B、正确& z! s+ U]' U* y3 S- P1 {6 b3 C
正确答案:
1 kN8 H( ~( M+ A
第36题,函数f在区间上Ｒ可积的充要条件是f在区间上的不连续点集为零测度集.- f5 }y/ Y& m; U$ z' O, |) h
A、错误
B、正确
正确答案 D/ T1 T7 ]- p8 J, a
+ U( ~+ C! t) C
第37题,f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A、错误5 C/ j; m2 x) r
B、正确7 l" ]- C7 k( Tk2 b
正确答案:" x' v4 ?% z9 l( G4 Y1 F6 Z3 X
第38题,fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0（ ）
A、充分条件
B、必要条件$ Q/ _3 {) O5 ~% Wq
C、充要条件' ~/ I! N+ C@' }) N; s
D、非充分非必要条件
正确答案:
第39题,开集减去闭集其差集是（ ）5 ?+ c- S* Z+ x5 r2 H$ aN
A、闭集0 W+ |3 {Yc: m0 K: E) \+ L
B、开集- u$ b( h; k9 z* I$ R( f, |
C、非开非闭集
D、既开既闭集
正确答案:
5 E1 p) B; g. N, g; f
9 [0 l: f( @+ [: e/ H, C
第40题,下列关系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0$ x" q; N; `) t' `' @4 \9 O
D、(∪Ai)c=∩(Aic)% c3 `) \( x8 Z' @% }
正确答案:
第41题,fn-f,a.e.,则) `& J5 e0 ! {
A、fn依测度收敛于f8 \( [( w: ^# G7 I, J
B、fn几乎一致收敛于fe/ X{, GR! A' M% [: V% t
C、fn一致收敛于f
D、|fn|-|f|,a.e.
正确答案:, t$ N! W8 p9 Q$ Y5 T$ a
# Y" Lcw" d8 M# c
第42题,设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的
A、连续函数
B、单调函数3 w- Z8 }8 N0 OR& H}7 ~5 c
C、有界变差函数% i' b9 G" Z, C3 m
D、绝对连续函数' E* K, Yr9 A
正确答案:1 w6 H* ^( j# e/ N4 L5 E
. n9 z% l" Um# z! q& i
第43题,若f∈AC，则（ ）9 _% }6 h6 Y+ S" ^3 c
A、f∈C
B、f∈BV
C、f(x)=f(a)+∫axf '(t)dt" U6 Q1 i- u; E: ]' ~3 Z* q
D、f∈Lip' dW" c) {1 J: r) l0 a* T
正确答案:* ^) J/ Y! t# B) j- |( j3 @. c- z
第44题,若f∈BV，则（ ）
A、f为有界函数
B、Vax(f)为增函数' r3 S2 d) v9 [0 o% P
C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可数个第一类间断点
正确答案:
8 J: M* o( ?/ M& e
第45题,f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L积分值3 W- D. ~8 d+ A, t7 u" C5 L
B、广义R可积
C、L可积
D、积分具有绝对连续性* ~+ L* v; W5 e4 E* J* F
正确答案:8 }( B! F9 `8 |: v" |& U
a; P# p2 Rv1 L2 L
第46题,若f,g是有界变差函数，则（ ）4 ^4 D% w# u2 ]6 h) Z' a5 K5 ~
A、f+g有界变差函数6 ?' R9 F; t9 E% Z! E- u
B、fg有界变差函数
C、f/g有界变差函数
D、max(f,g)有界变差函数
正确答案:# \) R4 a" ~2 f. @: c7 t
; Z, B7 B4 a6 `3 U# Q
第47题,f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上4 F( |% w- x2 j+ ?) B. g
A、广义R可积
B、不是广义R可积
C、L可积5 E& X2 F1 P5 j3 W
D、不是L可积! V8 U* J; @/ p
正确答案:, x" u: ~* T& v
6 w; U. ^W+ ^# n, F
第48题,若0=g=f且f可积，则（ ）8 Z0 s* T7 }2 m
A、g可积: A8 C" z, A6 h8 v( A$ ~, D
B、g可测5 |9 D% i* x1 @+ G) S4 F. c8 @/ e
C、g∞，a.e.Y$ x+ C4 L1 g% N$ W
D、当g可测时g必可积0 S: m) @6 a' N+ W
正确答案:
& K& n' H+ y; [* |% @; ]' n. H
b4 D$ M) y# w
第49题,设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则8 x1 I6 ]" L. ~. `* C
A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B、若E1包含于E2,mE1=mE2, f- d" d$ q* z7 BA
C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1" V* r* ~) `5 ~6 y# G: Q
正确答案:
+ b; @, d* s. t: n( O
第50题,若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A、f可测
B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|∞.a.e." F; CB* k2 p) t# V
正确答案:
页:
[1]