20年春福师《实变函数》在线作业二（答案参考）
【奥鹏】-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业二
试卷总分:100 得分:1001 W! D: |/ P1 h4 n+ c$ O2 |
第1题,R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A、错误
B、正确% i* e+ m' cj. k% Z
正确答案:
X5 Y( |' O4 l
" _# N" }' m1 t7 d' c6 h# E* h( p
第2题,f,g∈M(X),则fg∈M(X).h5 z+ Q% u6 J6 b; w# Y
A、错误
B、正确) i! O% a5 G( X" x( Q0 R
正确答案:
: B! Y5 Z+ i0 |$ q
第3题,若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n=g_n，a.e.,n=1,2,...,则f=g,a.e.6 u# \7 e9 O/ |1 w0 s
A、错误5 v! J1 i/ z- z7 LN3 Q3 x
B、正确, n) m# w' @* S4 z# q& ]
正确答案:
+ m* }7 p" w# nue
第4题,若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误, z5 ~# i) C9 P
B、正确& U3 A: {% F" w" [7 N* K8 i! W6 M) u
正确答案:
第5题,闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A、错误
B、正确& km+ K! W2 M9 Ol
正确答案:
第6题,若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A、错误0 [: }8 _0 X4 G2 a: X1 h
B、正确/ B8 p* X- ^' Z7 w+ }2 g
正确答案:
K3 ^8 }, r+ J" j7 P
第7题,若f广义R可积且f不变号，则f L可积.& J7 T! k6 B. [( L, {
A、错误+ i1 `m( H4 Y3 f1 G6 E
B、正确
正确答案:- D3 N0 ^) X- W
8 k9 N$ J& f7 \, ]
第8题,若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A、错误3 v0 w/ e" S4 k1 n4 z2 [' }
B、正确
正确答案:
第9题,若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误( m6 P0 ^! O: ~; |e}
B、正确, b6 ?/ g8 z! U6 M7 ]
正确答案:
第10题,函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零.
A、错误7 A! m4 q0 @1 V/ }3 n
B、正确
正确答案:, l; L* F# B0 A1 P& |
, t5 b! e+ ~% H+ m
第11题,绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。5 y# u, W* _5 k7 A& P* d
A、错误+ e& P/ q9 t6 Y
B、正确2 Y5 C- E' C7 Q! \
正确答案:5 }! V! @! W" V% x, q' v2 s" t+ x' r
( y! Q- P9 e# ^! u" A6 L8 R
6 N3 L1 n4 x# q( z5 i4 e0 F' t
第12题,可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A、错误
B、正确0 G+ ^" s. w6 I" c2 ?$ i0 [& l
正确答案 t! C5 e8 Z$ c- K3 {* l5 K- i2 p
第13题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果。9 n' X_# R! T, _# E0 `
A、错误; |, z2 z3 Ns
B、正确
正确答案:
# `$ H]. U; w! P0 J6 X
第14题,增函数f在上几乎处处可微。2 z8 e, T/ @- A
A、错误) V2 c5 x! nv6 A1 j4 P
B、正确
正确答案:2 X+ D1 Q# K2 Q3 T
第15题,存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdxf(b)-f(a) .
A、错误$ ^0 C0 W! k# w$ E2 I8 q3 Q4 I
B、正确
正确答案:- K/ j% u+ s# q2 `" |: K' G
第16题,利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。" j. ]" S2 U& ]1 V- P
A、错误
B、正确
正确答案:* y8 dS7 v9 x7 U. U- H/ {
% d7 z+ ^, t3 D
第17题,若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A、错误
B、正确
正确答案:1 W* b: L% l7 Vc, v7 K* _
& v! G7 M9 B" [+ F
5 F' iv, n. `8 _% Z
第18题,若f,g∈BV，|g|c0,则f/g属于BV。4 Z1 E# i: v) S* R% U% s" j
A、错误& `: Y* Y7 P# ^7 {; |
B、正确
正确答案:
第19题,可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|=g.
A、错误0 e, G" H0 V) d9 n
B、正确
正确答案:
$ I8 m) _, Q" ^# L8 ?( {0 C% ]
第20题,测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.5 A* n) m5 s% ]* H- j8 q6 O3 c]
A、错误
B、正确* s0 Q& M( U5 z/ N+ P4 q3 C
正确答案:! ~$ j- \/ K' F+ v
( ?: k/ K; Ph$ N9 U$ t
. ]: }1 r/ b- M0 K/ I! L% e
第21题,设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A、错误4 t" [5 e, k) k) O1 p
B、正确
正确答案:
7 Y9 D& i0 Z+ |* c4 {9 U
" @: C% G) ?# {6 \
第22题,f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A、错误( m3 k/ U2 A! |4 ~. |, E
B、正确
正确答案:" s: t; d" Q+ R2 ~
7 ]3 \% J, d* |
第23题,g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A、错误3 ]5 f$ e! Z) @- G% T- i8 R6 N
B、正确
正确答案 P( A* O" m) Z; u
第24题,集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A、错误8 i& C* O8 g/ Q/ d+ M7 @7 G( q
B、正确
正确答案:
2 I# P- r/ d- C* o
第25题,可数集的测度必为零，反之也成立.( o3 `* l' o9 B0 S5 i
A、错误
B、正确1 C* ]9 \4 G/ r! {
正确答案:" \) l% [; G+ t
: Q6 n6 u" X; }: a3 t( _5 f8 `
第26题,若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A、错误6 p& M+ y; r% F# S) x
B、正确
正确答案:& |9 _$ ?7 ?, c8 q
2 I! e; q+ I; u; j/ b8 A4 U
& wz; ~% Y( L* T
第27题,当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x-+∞}f(x)=0.
A、错误6 Q. |5 V' g5 u5 b* A# u) f& Y/ H
B、正确& a- T; _5 h; d4 w" @) f
正确答案:6 P# ]. \% p* }, H
1 \/ r# k+ ]/ T: J
第28题,f∈BV，则f有"标准分解式":f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.5 I+ z# |V; H: J
A、错误/ A3 X# rw5 a3 \4 c
B、正确/ J9 Z5 \" L0 G4 Q8 C
正确答案:
0 E: r" \4 a* C3 B. n: U; N4 Y; }
, {2 z1 m3 m. w) }! O
第29题,有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A、错误1 D6 {7 x- V9 D6 A. A9 m
B、正确0 n& Z" iq- H& @% S5 h2 U
正确答案:
& r8 ~3 D$ m( G
第30题,f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A、错误7 G- O0 Xe3 Z6 N# \3 N
B、正确
正确答案:. M4 j9 R" D, |! K, _" T
第31题,函数f在区间上Ｒ可积的充要条件是f在区间上的不连续点集为零测度集.
A、错误
B、正确9 c+ S$ R# k" }' Y$ F% p
正确答案 @" C. ?3 j5 Y0 f1 @- c) a
! H- I1 Z5 M# ?/ j5 {5 M
第32题,若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.# \3 F0 {6 d* }8 b1 @
A、错误1 j$ b! y' N! P* i/ ~! p! c
B、正确
正确答案:
5 nQ7 Q$ i7 N8 G6 n) G4 c
第33题,对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.3 q. K- n" ?/ EH
A、错误
B、正确
正确答案:
第34题,零测度集的任何子集都是可测集.
A、错误; k, ?8 q1 b9 c9 N2 z
B、正确
正确答案:
" _* s/ E& z% qf# f, ^% K
第35题,若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A、错误
B、正确) j* V3 }+ ^# p/ S
正确答案 w5 K( d# hF) `$ H+ `% J( I- d; T3 [8 `
+ L9 ~7 B$ J0 J$ I% c+ r
第36题,有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.% y8 Q( k$ hO' Z
A、错误
B、正确; W! t' M/ o5 C5 x* W- F
正确答案:
- a$ P4 W6 b' P0 zV) \
第37题,若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A、错误
B、正确
正确答案:
, n+ U, z6 d% O# c# b
第38题,fn-f,a.e.,则
A、fn依测度收敛于f! L% J! ]+ `2 sr
B、fn几乎一致收敛于f/ K8 Q. x# ]* s+ a6 {$ t
C、fn一致收敛于f& R" }, e3 v4 Q
D、|fn|-|f|,a.e.. p6 N3 r! [# u% J
正确答案:
" ?( E0 h1 D; C8 Z* L8 [) R! B7 A& O
$ Z+ ?; L+ s+ o. k9 o$ k& S$ I
第39题,fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0（ ）1 i, e* o0 t, V" j. m3 [& b6 Q
A、充分条件
B、必要条件& B+ D6 U7 y) Q' r
C、充要条件
D、非充分非必要条件6 y. \1 n* T' j, \5 T! _/ m9 T
正确答案:
! E3 c0 d; j" A$ H+ p
第40题,设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的8 D! ^$ y; m, _, J4 F
A、连续函数4 x6 h% W+ |! K* u6 H
B、单调函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数& g) \( U( O# V" K- X7 K. J
正确答案:! s8 _. w7 P/ D9 W3 V4 W) J( U
; N+ ~7 `a; M" [) Q
第41题,若A为R^n中一疏集，则（ ）
A、Ac为稠集7 C" a/ O6 s4 b3 e' w
B、A为开集; N7 \. L7 e; S. D# ~/ q& W
C、A为孤立点集
D、A不完备
正确答案:: P$ b* Z0 t* tC
, j' O: V+ X. ]7 \* D
第42题,有限个可数集的乘积集是（ ）2 H2 P; I$ q* Z6 ?6 Z# kR1 m
A、有限集. mu: ^& b8 h5 U+ a& ?* `
B、可数集$ ~! S" Ty! d, y1 L0 c0 V
C、有连续统势的集
D、基数为2^c的集, {6 a/ R4 k5 @1 y
正确答案:
& \6 I9 [4 _# l# p1 J$ x
第43题,若f∈BV，则（ ）% ]# |$ }% A& L/ Y
A、f为有界函数
B、Vax(f)为增函数" Q+ ~1 W; d7 B+ y- u1 t, r
C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可数个第一类间断点0 l$ @( Z( g0 i& |* o2 v. D
正确答案:,B,C,D
* |5 u: e/ h, S" D! R
第44题,设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是8 I) O6 [2 T& Y% Q( z6 q
A、是L可测函数6 R/ L" |7 C1 A+ w2 ], o
B、不是L可测函数& e4 h% t9 \?9 Y: E7 f' @6 b# C: J
C、有界函数
D、连续函数
正确答案:,C, N6 e, ?. }2 q: ]7 x
第45题,若f∈AC，则（ ）$ P* A6 x& T. h. H, ]/ d7 g4 Z7 Y7 y
A、f∈C/ T0 j" K5 @6 H2 ?: H
B、f∈BV
C、f(x)=f(a)+∫axf '(t)dt
D、f∈Lip1 k5 m% `5 |: \) w" K
正确答案:,B,C. H9 af9 l! E+ K
4 C; V1 z4 [9 f% c% u+ E' n
第46题,在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A、f在R上处处不连续
B、f在R上为可测函数
C、f几乎处处连续
D、f不是可测函数
正确答案:,B
0 R( x) t) U7 T- x5 Y
& L! v6 h; K6 @" S! p$ X+ B
第47题,若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A、f+g不可测
B、fg不可测
C、g^2可测
D、|g|可测9 rJ! k( \R3 _; n/ j
正确答案:,C,D
7 U* C2 W2 X* |2 p5 q- B- D; ?! h
8 b- n$ B" _* L( C
第48题,设f为上增函数，则f为（ ）/ B) N2 M& B; a3 a' }f* a& E
A、几乎处处可微
B、L可积' u9 M; _\# p4 O
C、f'可积
D、区间上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)3 }+ H8 V+ C- E" t4 k5 Y" Y
正确答案:,B,C$ `; h: n' i. L
第49题,若f,g是有界变差函数，则（ ）
A、f+g有界变差函数
B、fg有界变差函数& ], q+ n; B% F0 t?3 r2 g
C、f/g有界变差函数6 T7 C( N4 ^3 k, p& B
D、max(f,g)有界变差函数
正确答案:,B,D
第50题,设f为上减函数，则f为（ ）5 j6 j) x/ f( t! _7 L# e8 L
A、有界函数! [4 O. ^) m# q7 `' e+ z: P
B、可测函数5 i2 F% J, t+ J. J1 T- C
C、有界变差函数9 E7 \" g: G- LO. m* fK# v& J5 m
D、绝对连续函数* z- m( @+ p4 S9 {0 f
正确答案:,B,C
页:
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