福建师范大学2020年8月课程考试《近世代数》作业考核试题
《近世代数》期末考试A卷姓名：
专业：, M# Y, K+ `4 A5 O7 r; Z1 D7 E5 I. Y
学号：
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一、4分）
1. 剩余类环 中没有非零的零因子。 （ ）6 T2 }6 y% `0 ^* Tk7 a- xv
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）& w3 Z+ |* z$ W8 B
3. 已知 是有限群 的子群，和 分别表示 和 的元素个数，则 不一定能整除 （ ）
4. 数域上的全矩阵环不是单环。 （ ）$ J% v4 w& o1 X7 o: j* s0 X" \
5. 环中理想的乘积还是理想。 （ ）
二、计算证明题（共80分，4个小题，20分）W$ r( c' i5 k# k
1. 设 是整数集，规定 ，证明： 关于所定义的0 a8 K9 }# Mj6 e; N# Q
运算构成交换群8 s% X# I2 ?3 t! ^0 F0 C
2.在四元对称群 中,设 .
(1) 写出 的轮换分解式(即将 写成一些互不相交的轮换的乘积);& m9 X6 x. l1 m: J' T
(2) 设集合 , 试写出 中全部元素(用轮换分解式表示);( ^I, `4 ~u) I1 |% u
3.有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 3 f3 b- D# m9 [- U
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程): ^3 z4 F2 P0 u) z9 _
4. 求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。
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