福建师范大学2021年2月课程考试《近世代数》作业考核试题（参考）
《近世代数》期末考试A卷! I" g% `' J) i7 ]2 d姓名： & G6 l; \$ M1 z6 a* |
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一、(共20分，5个小题，4分）
1. 剩余类环 中没有非零的零因子。 （ ）2 k7 ~# l4 s) t+ d1 Q# t/ L
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）- T/ D- |" I' h/ z# j- j) ]
3. 已知 是有限群 的子群，和 分别表示 和 的元素个数，则 不一定能整除 （ ）
4. 数域上的全矩阵环不是单环。 （ ）
5. 环中理想的乘积还是理想。 （ ）7 P$ K6 r6 y( |( i. M4 A
二、计算证明题（共80分，4个小题，20分）7 u: L* E3 n) P, T
1. 设 是整数集，规定 ，证明： 关于所定义的0 W* ?& J' H5 d8 B3 Be* i' |
运算构成交换群
2.在四元对称群 中,设 .) N+ c& b, N/ A5 r4 f, f
(1) 写出 的轮换分解式(即将 写成一些互不相交的轮换的乘积);
(2) 设集合 , 试写出 中全部元素(用轮换分解式表示);9 Z( @( a# p. l( h3 c/ b
3.有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 3 L) [, @4 h: x5 D6 M, X/ r/ ]
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
4. 求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。:
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