福建师范大学2020年8月课程考试《近世代数》作业考核试题

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《近世代数》期末考试A卷
姓名：        
专业：, M# Y, K+ `4 A5 O7 r; Z1 D7 E5 I. Y
学号：         
学习中心：
一、4分）
1.        剩余类环 中没有非零的零因子。            （   ）6 T2 }6 y% `0 ^* T  k7 a- x  v
2.        群中指数为2的子群一定是正规子群           （   ）& w3 Z+ |* z$ W8 B
3.        已知 是有限群 的子群，  和 分别表示 和 的元素个数，则   不一定能整除                （   ）
4.        数域上的全矩阵环不是单环。                 （   ）$ J% v4 w& o1 X7 o: j* s0 X" \
5.        环中理想的乘积还是理想。                   （   ）
二、计算证明题（共80分，4个小题，20分）  W$ r( c' i5 k# k
1. 设 是整数集，规定 ，证明： 关于所定义的0 a8 K9 }# M  j6 e; N# Q
  运算构成交换群8 s% X# I2 ?3 t! ^0 F0 C
2.  在四元对称群 中,设 .
(1)        写出 的轮换分解式(即将 写成一些互不相交的轮换的乘积);& m9 X6 x. l1 m: J' T
(2)        设集合 , 试写出 中全部元素(用轮换分解式表示);( ^  I, `4 ~  u) I1 |% u
3.  有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 3 f3 b- D# m9 [- U
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程): ^3 z4 F2 P0 u) z9 _
4. 求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。